ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ............................................................................................................................ 3
1. Описание и анализ нелинейных детерминированных систем ............................................... 5
1.1. Описание нелинейных детерминированных систем .......................................................... 5
1.1.1. Описание нелинейных систем дифференциальными уравнениями................................. 5
1.1.2. Описание систем с одним нелинейным элементом.......................................................... 9
1.2. Анализ выходных процессов............................................................................................. 12
1.3. Анализ поведения нелинейных систем на фазовой плоскости ......................................... 16
1.3.1. Построение фазовых траекторий................................................................................... 16
1.3.2. Построение фазового портрета методом изоклин ......................................................... 20
1.3.3. Анализ устойчивости систем управления на фазовой плоскости................................... 23
1.4. Анализ абсолютной устойчивости.................................................................................... 31
1.5. Анализ автоколебаний систем управления методом гармонической линеаризации.......... 37
1.5.1. Гармоническая линеаризация нелинейных элементов.................................................... 37
1.5.2. Анализ наличия автоколебаний..................................................................................... 40
2. Описание нелинейных стохастических систем.................................................................... 45
2.1. Конструктивные способы описания стохастических систем и процессов......................... 45
2.1.1. Постановка задачи......................................................................................................... 45
2.1.2. Характеристический функционал.................................................................................. 46
2.1.3. Многоточечные плотности распределения .................................................................... 48
2.1.4. Числовые характеристики.............................................................................................. 56
2.2. Стохастические дифференциальные системы................................................................... 71
2.2.1. Описание стохастических систем дифференциальными уравнениями........................... 71
2.2.2. Стохастические интегралы и дифференциалы .............................................................. 74
2.2.3. Стохастические дифференциальные уравнения и их связь с уравнениями Колмогорова............................................................................................................................ 80
2.3. Стохастические интегральные системы с нелинейностями .............................................. 84
2.3.1. Описание стохастических систем интегральными уравнениями Гаммерштейна—Вольтерра .................................................................................................... 84
2.3.2. Статистическая линеаризация нелинейностей .............................................................. 87
2.3.3. Корреляционное описание систем................................................................................. 90
2.3.4. Уравнения для кумулянтных функций........................................................................... 93
3. Анализ выходных процессов нелинейных стохастических систем....................................... 99
3.1. Статистическое моделирование систем............................................................................ 99
3.1.1. Метод статистических испытаний................................................................................. 99
3.1.2. Методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений............. 101
3.2. Решение уравнения Фоккера—Планка-Колмогорова .....................................................104
3.2.1. Метод квазимоментов.................................................................................................. 104
3.2.2. Метод гауссовского приближения............................................................................... 110
3.2.3. Проекционно-сеточный метод..................................................................................... 111
3.2.4. Спектральный метод.................................................................................................... 115
3.3. Решение интегральных уравнений метода статистической линеаризации...................... 119
3.3.1. Применение преобразования Фурье............................................................................. 119
3.3.2. Применение спектрального преобразования ................................................................121
4. Синтез оптимальных нелинейных детерминированных систем......................................... 123
4.1. Принципы формирования оптимальных систем управления.......................................... 123
4.1.1. Функциональная схема оптимальных систем ...............................................................123
4.1.2. Принцип расширения.................................................................................................. 125
4.2. Постановка задачи.......................................................................................................... 126
4.3. Достаточные условия оптимальности ............................................................................ 129
4.4. Соотношения для определения оптимального управления ............................................ 132
4.5. Предельные случаи информированности о векторе состояния....................................... 136
4.5.1. Принцип максимума.................................................................................................... 136
4.5.2. Уравнение Беллмана.................................................................................................... 138
4.6. Оптимальное управление детерминированными системами с
подвижным правым концом траекторий................................................................................ 147
4.6.1. Постановка задачи ...................................................................................................... 147
4.6.2. Достаточные условия оптимальности.......................................................................... 147
4.6.3. Соотношения для определения оптимального управления .......................................... 149
4.6.4. Предельные случаи информированности о векторе состояния..................................... 153
4.6.5. Пример определения оптимального программного управления ЛА.............................. 160
4.7. Синтез оптимальных линейных регуляторов с неполной обратной связью..................... 164
4.7.1. Постановка задачи ...................................................................................................... 164
4.7.2. Соотношения для определения оптимального управления .......................................... 164
4.7.3. Предельные случаи информированности о векторе состояния..................................... 166
5. Синтез оптимальных нелинейных стохастических систем .................................................170
5.1. Постановка задачи.......................................................................................................... 170
5.2. Достаточные условия оптимальности ............................................................................ 176
5.3. Соотношения для определения оптимального управления ............................................. 184
5.3.1. Общий случай минимизируемого функционала ...........................................................184
5.3.2. Случай линейного по плотности вероятности функционала ....................................... 188
5.4. Предельные случаи информированности о векторе состояния....................................... 190
5.4.1. Стохастический принцип максимума............................................................................190
5.4.2. Уравнение Беллмана.....................................................................................................200
5.5. Оптимальное управление стохастическими системами
с незаданным временем окончания процесса.........................................................................206
5.5.1. Задача поиска наилучшего момента окончания процесса ............................................206
5.5.2. Задача со случайным моментом окончания процесса................................................... 207
5.6. Синтез оптимальных линейных регуляторов с неполной обратной связью .....................214
5.6.1. Постановка задачи........................................................................................................214
5.6.2. Соотношения для определения оптимального управления........................................... 215
5.6.3. Предельные случаи информированности о векторе состояния......................................221
6. Синтез оптимальных детерминированных систем при неопределенности
задания начальных условий....................................................................................................226
6.1. Синтез оптимального в среднем управления пучками траекторий ..................................226
6.1.1. Постановка задачи........................................................................................................226
6.1.2. Соотношения для определения оптимального в среднем управления...........................231
6.1.3. Предельные случаи информированности о векторе состояния.....................................233
6.1.4. Пример определения оптимального в среднем управления ЛА.....................................239
6.2. Синтез оптимального гарантирующего управления пучками траекторий........................243
6.2.1. Постановка задачи........................................................................................................243
6.2.2. Достаточные условия оптимальности...........................................................................245
6.2.3. Соотношения для определения оптимального гарантирующего управления.................247
6.2.4. Предельные случаи информированности о векторе состояния.....................................249
6.2.5. Пример определения оптимального гарантирующего управления ЛА...........................255
7. Синтез нелинейных стохастических систем наблюдения .................................................. 261
7.1. Абсолютно оптимальные фильтры...................................................................................261
7.1.1. Постановка задачи определения оценки состояния...................................................... 261
7.1.2. Связь оценки с апостериорной плотностью ................................................................ 263
7.1.3. Уравнения для апостериорной плотности ................................................................... 265
7.1.4. Фильтр нормальной-аппроксимации............................................................................ 267
7.1.5. Обобщенный фильтр Калмана-Бьюси.......................................................................... 271
7.1.6. Анализ точности субоптимальных фильтров .............................................................. 272
7.1.7. Линейный фильтр Калмана-Бьюси............................................................................... 275
7.2. Оптимизация параметров конечномерных фильтров ..................................................... 276
7.2.1. Постановка задачи синтеза параметров фильтра ........................................................ 276
7.2.2.Синтез параметров фильтра, оптимального всюду........................................................ 278
7.2.3. Выбор параметров локально оптимального фильтра.................................................... 281
7.2.4. Условно оптимальный фильтр Пугачева ..................................................................... 283
7.2.5. Линейный фильтр для линейной системы ................................................................... 286
7.3. Оптимизация структуры конечномерных фильтров ....................................................... 289
7.3.1. Постановка задачи синтеза структуры фильтра .......................................................... 289
7.3.2. Структура локально оптимального фильтра ................................................................ 289
7.3.3. Случай квадратичной функции потерь........................................................................ 291
7.3.4. Гауссовский фильтр субоптимальной структуры ........................................................ 295
7.3.5. Нахождение параметров гауссовского фильтра............................................................ 297
7.3.6. Линеаризованный фильтр............................................................................................ 300
7.3.7. Линейно-гауссовский случай....................................................................................... 301
7.3.8. Уточнение фильтров субоптимальной структуры ....................................................... 302
Литература............................................................................................................................ 304
Приложение 1. Вариационная производная, операции с вариационными производными..... 307
Приложение 2. Некоторые операции с функциями и матрицами ......................................... 308