СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие к русскому изданию.............................................................................................. 7
Введение ................................................................................................................................... 9
Предварительные сведения и обозначения............................................................................... 14
Глава 1. Что, почему и как в вейвлетах.................................................................................... 26
1.1. Частотно-временная локализация...................................................................................... 26
1.2. Вейвлет-преобразование: аналогии и отличия в сравнении с оконным
преобразованием Фурье........................................................................................................... 28
1.3. Различные типы вейвлет-преобразований........................................................................ 33
1.3.1. Непрерывные вейвлет-преобразования.......................................................................... 33
1.3.2. Дискретное избыточное вейвлет-преобразование (фрейм)............................................. 34
1.3.3. Ортонормированные базисы вейвлетов: кратномас-штабный анализ............................. 37
Примечания ............................................................................................................................ 44
Глава 2. Непрерывное вейвлет-преобразование ...................................................................... 46
2.1. Функции с ограниченной шириной полосы и теорема Шеннона ...................................... 46
2.2. Множество функций с ограниченной частотной полосой, как особый случай
гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром............................................................. 50
2.3. Ограничения на частотную и временную полосы............................................................. 52
2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование ............................................................................. 55
2.5. Гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, соответствующее
непрерывному вейвлет-преобразованию ................................................................................ 64
2.6. Непрерывное вейвлет-преобразование в многомерном случае ........................................ 67
2.7. Параллели с непрерывным оконным преобразованием Фурье ........................................ 68
2.8. Непрерывное преобразование как инструмент для построения полезных операторов..... 70
2.9. Непрерывное вейвлет-преобразование как математический
увеличитель: характеристика локальной регулярности........................................................... 83
Примечания ........................................................................................................................... 89
Глава 3. Дискретные вейвлет-преобразования: фреймы ......................................................... 92
3.1. Дискретизация вейвлет-преобразования.......................................................................... 92
3.2. Общие сведения о фреймах.............................................................................................. 96
3.3. Фреймы вейвлетов.......................................................................................................... 105
3.3.1. Необходимое условие: допустимость материнского вейвлета...................................... 105
3.3.2. Достаточное условие и оценки для границ фрейма..................................................... 110
3.3.3. Двойственный фрейм.................................................................................................. 114
3.3.4. Некоторые вариации базовой схемы............................................................................ 115
3.3.5. Примеры ..................................................................................................................... 119
3.4. Фреймы для оконного преобразования Фурье................................................................. 128
3.4.1. Необходимое условие: достаточно высокая частотно-временная плотность................. 129
3.4.2. Достаточное условие и оценки для границ фрейма...................................................... 130
3.4.3. Двойственный фрейм................................................................................................... 131
3.4.4. Примеры ..................................................................................................................... 132
3.5. Частотно-временная локализация................................................................................... 136
3.6. Избыточность фреймов................................................................................................... 148
3.7. Некоторые заключительные замечания........................................................................... 151
Примечания .......................................................................................................................... 152
Глава 4. Частотно-временная плотность и ортонормиро- ванные базисы.............................. 159
4.1. Роль частотно-временной плотности для фреймов вейвлетов и оконных фреймов Фурье..................................................................................................................................... 159
4.2. Ортонормированные базисы........................................................................................... 169
4.2.1. Ортонормированные базисы вейвлетов........................................................................ 169
4.2.2. Вновь оконное преобразование Фурье: и все-таки «хорошие» ортонормированные базисы!.................................................................................................................................. 175
Примечания .......................................................................................................................... 183
Глава 5. Ортонормированные базисы вейвлетов и кратно-масштабный анализ.................... 186
5.1. Основная идея................................................................................................................ 186
5.2. Примеры......................................................................................................................... 196
5.3. Ослабление некоторых условий ..................................................................................... 198
5.3.1. Базисы Рисса масштабирующих функций.................................................................... 198
5.3.2. Использование масштабирующей функции в качестве отправной точки.................... 200
5.4. Другие примеры: семейство Батла-Лемарье.................................................................... 206
5.5. Регулярность базисов ортонормированных вейвлетов ................................................... 214
5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации................................................................... 218
Примечания ......................................................................................................................... 228
Глава 6. Ортонормированные базисы вейвлетов с компактным носителем.......................... 232
6.1. Построение то................................................................................................................ 233
6.2. Связь с ортонормированными базисами вейвлетов ....................................................... 240
6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности ........................................ 250
6.4. Примеры вейвлетов с компактными носителями, порождающих
ортонормированный базис.................................................................................................... 265
6.5. Каскадный алгоритм: связь с уточняющими схемами и схемами
последовательного деления .................................................................................................. 270
Примечания ......................................................................................................................... 285
Глава 7. Более подробно о регулярности вейвлетов с компактными носителями................. 288
7.1. Методы Фурье................................................................................................................ 289
7.1.1. Методы грубой силы................................................................................................... 289
7.1.2. Оценки убывания, полученные из инвариантных циклов........................................... 294
7.1.3. Оценки типа Литлвуда-Пэли....................................................................................... 302
7.2. Прямой метод................................................................................................................. 309
7.3. Вейвлеты с компактными носителями и лучшей регулярностью .................................. 321
7.4. Регулярность или нулевые моменты?............................................................................. 322
Примечания ......................................................................................................................... 329
Глава 8. Симметрия базисов вейвлетов с компактными носителями ................................... 332
8.1. Отсутствие симметрии для ортонормированных вейвлетов с компактным носителем... 332
8.1.1. Ближе к линейной фазе............................................................................................... 336
8.2. Койфлеты....................................................................................................................... 340
8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов ...................................................... 345
8.3.1. Точное восстановление................................................................................................ 345
8.3.2. Масштабирующие функции и вейвлеты...................................................................... 347
8.3.3. Регулярность и нулевые моменты................................................................................ 354
8.3.4. Симметрия................................................................................................................... 355
8.3.5. Биортогональные базисы, близкие ортонормиро-ванному базису................................ 365
Примечания .......................................................................................................................... 373
Глава 9. Характеристика функциональных пространств с помощью вейвлетов.................... 376
9.1. Вейвлеты: безусловный базис для LР(R), 1 < р < oo ....................................................... 376
9.2. Характеристика функциональных пространств с помощью вейвлетов............................ 387
9.3. Вейвлеты для L1([0, 1])................................................................................................... 394
9.4. Интересный контраст между разложением по вейвлетам и рядом Фурье........................ 399
Примечания .......................................................................................................................... 401
Глава 10. Обобщения и трюки для ортонормированных базисов вейвлетов........................... 403
10.1. Многомерные базисы вейвлетов с параметром сжатия 2 ............................................... 403
10.2. Одномерный ортогональный базис вейвлетов с целым параметром сжатия больше 2.... 410
10.3. Базисы вейвлетов с матричными сжатиями в многомерном случае................................ 413
10.4. Одномерные ортонормированные базисы вейвлетов с нецелыми показателями сжатия. 415
10.5. Лучшее частотное разрешение: трюк с расщеплением .................................................. 420
10.6. Базисы вейвлет-пакетов ................................................................................................ 427
10.7. Базисы вейвлетов на интервале..................................................................................... 428
Примечания ........................................................................................................................... 433
Литература............................................................................................................................. 437
Предметный указатель .......................................................................................................... 458