СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................................................................................... 7

Глава I. Введение................................................................................................................. 11
§ 1.1. Как возникают экстремальные задачи? ...................................................................... 11
1.1.1. Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны (12).
1.1.2. Другие старинные экстремальные задачи в геометрии (16).
1.1.3. Вариационный принцип Ферма и принцип Гюйгенса. Задача о преломлении света (20). 1.1.4. Задача о брахистохроне. Зарождение вариационного исчисления (24).
1.1.5. Аэродинамическая задача Ньютона (27).
1.1.6. Задача о рационе и транспортная задача (28).
1.1.7. Задача о быстродействии (29).
§ 1.2. Как формализуются экстремальные задачи? ............................................................... 29
1.2.1. Основные определения (29).
1.2.2. Простейшие примеры формализации экстремальных задач (31).
1.2.3. Формализация задачи Ньютона (33).
1.2.4. Различные формализации классической изопериметрической задачи и задачи о брахистохроне. Простейшая задача о быстродействии (35).
1.2.5. Формализация транспортной задачи и задачи о рационе (38).
1.2.6. Основные классы экстремальных задач (39).
§ 1.3. Правило множителей Лагранжа и теорема Куна—Таккера......................................... 44
1.3.1. Теорема Ферма (44). 1.3.2. Правило множителей Лагранжа (47).
1.3.3. Теорема Куна —Таккера (52).
1.3.4. Доказательство конечномерной тео-ремы отделимости (57).
§ 1,4. Простейшая задача классического вариационного исчисления и ее обобщения......... 58
1.4.1. Уравнение Эйлера (58).
1.4.2. Необходимые условия в задаче Больца. Условия трансверсальности (64).
1.4.3. Расширения простейшей зада-чи (66).
1.4.4. Игольчатые вариации. Условие Вейер-штрасса (74).
1.4.5. Изопериметрическая задача и задача со старшими производными (77).
§ 1,5. Задача Лагранжа и основная задача оптимального управления................................... 80
1.5.1. Постановки задач (80). 1.5.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа (82).
1.5.3. Принцип максимума Понтрягина (84).
1.5.4. Доказательство принципа максимума в задаче со свободным концом (87).
§ 1.6. Решение задач............................................................................................................. 94
1.6.1. Геометрические экстремальные задачи (95).
1.6.2. Аэродинамическая задача Ньютона (99).
1.6.3. Простейшая задача о быстродействии (103).
1.6.4. Классическая изопериметрическая задача и задача Чаплыгина (107).
1.6.5. Задача о брахистохроне и некоторые задачи геометрии (112).

Глава II. Аппарат теории экстремальных задач .................................................................. 115
§ 2.1. Предварительные сведения из функционального анализа......................................... 115
2.1.1. Линейные нормированные и банаховы пространства (115).
2.1.2. Произведение пространств. Фактор-пространство (117).
2.1.3. Теорема Хана— Банаха и ее следствия (120).
2.1.4. Теоремы отделимости (123).
2.1.5. Теорема Банаха об обратном операторе и лемма о правом обратном отображении (127). 2.1.6. Лемма о замкнутости образа (129).
2.1.7. Лемма об аниуляторе ядра регулярного оператора (130).
2.1.8. Абсолютно непрерывные функции (130).
2.1.9. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в пространстве С, Формула Дирихле (134).
§ 2.2. Основы дифференциального исчисления
в линейных нормированных пространствах ...................................................................... 136
2.2.1. Производная по направлению, первая вариация, производные Гато и Фреше, строгая дифференцируе-мость (137).
2.2.2. Теорема о суперпозиции дифференцируемых отображений (144).
2.2.3. Теорема о среднем и ее следствия (147).
2.2.4. Дифференцирование в произведении пространств. Частные производные. Теорема о полном дифференциале (151).
2.2.5. Производные высших порядков. Формула Тейлора (154).
§ 2.3. Теорема о неявной функции .................................................................................... 161
2.3.1. Формулировка теоремы о существовании неявной функции (161).
2.3.2. Модифицированный прин- цип сжимающих отображений (162).
2.3.3. Доказательство теоремы (163).
2.3.4. Классические теоремы о неявной функции и обратном отображении (166).
2.3.5. Касательное пространство и теорема Люстер-ника (171).
§ 2.4. Дифференцируемость некоторых конкретных отображений .................................... 174
2.4 1. Оператор Немыцкого и оператор дифференциальной связи (174).
2.4.2. Интегральный функционал (178).
2.4.3. Оператор краевых условий (181).
§ 2.5. Необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений ... 183
2.5.1. Основные предположения (184).
2.5.2. Локальная теорема существования (186).
2.5.3. Теорема единственности (189).
2.5.4. Линейные дифференци-альные уравнения (191).
2.5.5. Глобальная теорема о существовании и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров (195).
2.5.6. Теорема о дифференцируемой зависимости решений от начальных данных (201).
2.5.7. Классическая теорема о дифференцируемой зависимости решений от начальных данных (204).
§ 2.6. Элементы выпуклого анализа................................................................................... 208
2.6.1. Основные определения (208).
2.6.2. Выпуклые множества и функции в линейных топологических пространствах (216).
2 6.3. Преобразование Лежан-дра—Юнга —Фенхеля. Теорема Фенхеля—Моро (224),
2.6.4. Субдифференциал. Теорема Моро — Рокафел-лара. Теорема Дубовицкого—Милютина (229).

Глава III. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями..................................... 238
§ 3.1. Элементарные задачи............................................................................................... 238
3.1.1. Элементарные задачи без ограничений (238).
3.1.2. Элементарная задача линейного программирования (243).
3.1.3. Задача Больца (244).
3.1.4. Элементарная задача оптимального управления (247).
3.1.5. Принцип Лагранжа для задач с равенствами и неравенствами (248).
§ 3.2. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями
типа равенств и неравенств ............................................................................................... 252
3.2.1. Формулировка теоремы (252).
3.2.2. Правило множителей для гладких задач с равенствами (253).
3.2.3. Редукция задачи (256).
3.2.4. Доказательство теоремы (257).
§ 3.3. Принцип Лагранжа и двойственность в задачах выпуклого программирования ...... 261
3.3.1. Теорема Куна — Таккера (субдифференциальная форма) (261).
3.3.2. Метод возмущений и теория двойственности (263).
3.3.3. Линейное программирование: теорема существования и теорема двойственности (269). 3.3.4. Теорема двойственности для задачи о кратчайшем расстоянии. Лемма Хоффмана и лемма о минимаксе (275).
§ 3.4. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в гладких задачах .... 287
3.4.1. Гладкие задачи с равенствами (287).
3.4.2. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами — необходимые условия второго порядка (289).
3.4.3. Достаточные условия экстремума для гладких задач с равенствами и неравенствами

Глава IV. Принцип Лагранжа в задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления .................................................................................................. 297
§ 4.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа................................................................... 297
4.1.1. Постановка задачи и формулировка теоремы (297).
4.1.2. Редукция задачи Лагранжа к гладкой задаче (303).
4.1.3. Обобщенная лемма Дюбуа —Рей-мона (306).
4.1.4. Вывод условий стационарности (308).
4.1.5. Задача со старшими производными. Уравнение Эйлера—Пуассона (310).
§ 4.2. Принцип максимума Понтрягина ............................................................................. 314
4.2.1. Постановка задачи оптимального управления (314).
4.2.2. Формулировка принципа максимума. Принцип Лагранжа в задаче оптимального управления (319).
4.2.3. Игольчатые вариации (322).
4.2.4. Редукция к конечномерной задаче (326).
4.2.5. Доказательство принципа максимума (328).
4.2.6. Доказательство леммы о пакете иголок (335).
4.2.7. Доказательство леммы об интегральных функционалах (345).
§ 4.3. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным ................... 347
4.3.1. Редукция задачи оптимального управления, линейной по фазовым переменным, к задаче ляпу-новского типа (347).
4.3.2. Теорема Ляпунова (350).
4.3.3. Принцип Лаграижа для ляпуновских задач (353). .
4.3.4. Теорема двойственности (361).
4.3.5. Принцип максимума для задач оптимального управления, линейных по фазовым переменным (366).
§ 4.4. Применение общей теории к простейшей задаче классического вариационного исчисления ........................................................................................................................ 370
4.4.1. Уравнение Эйлера, Условие Вейерштрасса. Условие Лежандра (370).
4.4.2. Условия второго порядка для слабого экстремума. Условия Лежандра и Якоби (373). 4.4.3. Гамильтонов формализм. Теорема об интегральном инварианте (377).
4.4.4. Достаточные условия абсолютного экстремума в простейшей задаче (386).
4.4.5. Сопряженные точки. Достаточные условия сильного и слабого экстремума (391).
4.4.6. Теорема Э. Нётер (402).
4.4.7. Вариационный принцип и законы сохранения в механике (407).
Комментарии и путеводитель по литературе ..................................................................... 411
Литература ........................................................................................................................ 414
Список основных обозначений........................................................................................... 420
Предметный указатель........................................................................................................ 425